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Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son:

Potencia de exponente 0

Cualquier número a \in\mathbb{R}\, elevado a 0, distinto de 0, es igual a 1

a^0 = 1\,

El caso especial 00 se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valores dependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener.

Por ejemplo, puede argumentarse que 00 es el igual al valor del límite

\lim_{x\to 0^+} x^0

y como x0 = 1 para x \ne 0, dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede considerarse dicha expresión como el valor del límite

\lim_{x\to 0^+} 0^x

y como 0x = 0 para x \ne 0, dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma 00 puede corresponde a diferentes valores y por ello se considera indefinida.

El debate sobre el valor de la forma 00 tiene casi 2 siglos de antigüedad. Durante los primeros días del análisis matemático en que el fundamento formal del cálculo no se había establecido, era común aceptar que 00=1. Sin embargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d’Analyse de l’École Royale Polytechnique estableciendo el primer tratamiento riguroso del análisis, lista dicha forma en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0. En los 1830s, Libri[1] [2] publicó un argumento para asignar 1 como valor de 00 y August Möbius[3] lo apoyó afirmando erróneamente que

\lim_{t \to 0^+} f(t)^{g(t)} = 1\, siempre que \lim_{t \to 0^+} f(t) = \lim_{t \to 0^+} g(t) = 0.

Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un contraejemplo

{(e^{-1/t})}^t

cuyo límite cuando t\to0^+ es 1 / e, lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del incidente que 00 debería permanecer indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth (1992).

En la actualidad, suele considerarse la forma 00 como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto en el cual el valor asignado tenga sentido.

Para calcular límites cuyo valor aparente es 00 suele usarse la Regla de L’Hopital.

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.

a^1 = a \,

ejemplo:

54^1=54 \,

Multiplicacion de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base «a» es igual a la potencia de dicha base «a» y exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes (la misma base y se suman los exponentes):

 a^m \cdot a^n = a^{m + n}

ejemplos:

 9^3 \cdot 9^2 = 9^{3+2}= 9^5

Division de Potencias de Igual Base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos (la misma base y se restan los exponentes):

\frac{a^m}{a^n}=a^{m - n}

Potencia de un producto

La potencia de un producto es igual a cada uno de los factores del producto elevados al exponente de dicha potencia. Es decir, una potencia de base (a.b) y de exponente “n”, es igual al factor “a” elevado a “n” por el factor “b” elevado a “n”.

(a \cdot b)^n=a^n \cdot b^n

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

 (a^m)^n = a^{m \cdot n}